Monte-Carlo-Simulation für Investmentdepots

Market expectationsLetztlich ist der Blick in die künftige Entwicklung einer Kapitalanlage pure Mathematik – Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Lehrstück darüber, wie Berater die Renditeschwankungen von Kapitalanlagen verständlich machen können.

Berater stehen regelmäßig vor der Aufgabe, Kunden die Entwicklung eines Investmentdepots mit Einmalanlage, Spar-  und Auszahlplänen aufzuzeigen. Diese Entwicklungsrechnung erfolgt in aller Regel mit einer angenommenen Renditeerwartung, also ohne die Schwankungen an den Kapitalmärkten zu berücksichtigen. Beim Kunden entsteht dadurch der Eindruck eines kontinuierlichen Verlaufs, der jedoch nie eintreten wird.

Will der Berater für seinen Kunden die Schwankungen bei der Depotentwicklung analysieren, benötigt er Volatilitäten. Damit kann er die Wirkung der Schwankungen über eine Monte-Carlo-Simulation aufzeigen.

Was bedeutet Volatilität?

Volatilität ist die relevante Kennzahl für die Schwankungen der Rendite. Mathematisch gesehen ist die Volatilität die Standardabweichung von der Renditeerwartung. Die Renditeerwartung ist die gemittelte Rendite, wenn man die Anlage über sehr viele Jahre beobachtet. Die einzelnen jährlichen Renditen schwanken um diesen Erwartungswert. Wie weit die einzelnen jährlichen Renditen auseinanderliegen, hängt von der Volatilität ab. Je niedriger die Volatilität, umso dichter liegen die jährlichen Renditen am Erwartungswert. Die Verteilung nehmen Finanzwissenschaftler dabei als Gaußsche Normalverteilung oder Glockenkurve an.

Bild1 XPS

Wenn wir beispielsweise für einen Kapitalmarkt eine Renditeerwartung von fünf Prozent mit einer Volatilität von zwölf Prozent haben, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 68,3 Prozent, dass die Rendite im nächsten Jahr in dem Intervall minus sieben Prozent (gleich Erwartungswert minus Standardabweichung) bis plus 17 Prozent (gleich Erwartungswert plus Standardabweichung) liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite im darauf folgenden Jahr in dem Intervall minus 19 Prozent (gleich Erwartungswert minus doppelte Standardabweichung) bis plus 29 Prozent (gleich Erwartungswert plus doppelte Standardabweichung) liegt, beträgt 95,4 Prozent. Die Fläche unter der Kurve für ein gewähltes Intervall entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite in dem gewählten Intervall liegt.

Simulation eines Beispielverlaufs

Über einen Zufallsgenerator mit Erwartungswert gleich „Renditeerwartung des Kapitalmarkts“ und mit Standardabweichung gleich „Volatilität des Kapitalmarkts“ kann man einen Verlauf für die Depotentwicklung simulieren.

Bild2 XPS

Der Kunde erkennt an zwei, drei verschiedenen Verläufen, welchen Schwankungen das Depot unterworfen ist und dass ein Entnahmeplan auch vorzeitig enden kann, weil das Depot durch einige schlechte Jahre rascher aufgezehrt wurde. In der dargestellten Beispielsimulation hatte das beste Jahr eine Rendite von plus 40 Prozent, aber es war auch ein Jahr mit minus 20 Prozent dabei.

Monte-Carlo-Simulation und Perzentile

Jede einzelne Verlaufssimulation stellt eine mögliche Depotentwicklung dar. Mal ist das Depot vorzeitig aufgezehrt, mal bleibt ein hoher Vermögensbetrag am Ende übrig. Mit was kann der Kunde aber am Ende rechnen? Welches Schlussvermögen kann der Kunde erwarten?

Aufschluss gibt hier eine Monte-Carlo-Simulation. Hierbei führt man nicht nur zwei oder drei Simulationen durch sondern zum Beispiel 10.000 Simulationen und analysiert alle 10.000 Depotverläufe.

Bild3 XPS

Im Diagramm – erstellt mit den XPS-Finanztools – stellt die rote Linie den Verlauf ohne Schwankung dar, die oberste graue Linie stellt das 75%-Perzentil, die mittlere graue Linie das 50%-Perzentil und die unterste Linie das 25%-Perzentil. Das 25%-Perzentil sagt aus, dass 25% der Werte aller Simulationen unterhalb der 25%-Perzentil-Linie liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Depotentwicklung schlechter als die unterste Linie verläuft, liegt also immerhin bei einem Viertel.

Der Anwender des Tools erkennt außerdem, dass das 50%-Perzentil unterhalb der Depotentwicklung ohne Schwankung verläuft. Deutlich mehr als die Hälfte aller Simulationen verlaufen schlechter als die Depotentwicklung ohne Schwankung und je größer die Volatilität, desto größer wird der Abstand zu dieser Referenzlinie. In Planungsrechnungen, die keine Schwankungen berücksichtigen, sollte daher unbedingt ein Renditeabschlag aufgrund der Volatilität gemacht werden.

Schlussbemerkung

Bei der Beratung zu Investmentdepots wird das Thema „Risiko“ beziehungsweise „Volatilität“ wahrscheinlich immer diskutiert, aber fast nie gerechnet. Beispielsimulation und Monte-Carlo-Simulation bieten hervorragende Möglichkeiten, die Problematik zu veranschaulichen und neben allgemeiner Prosa über Diversifikation auch quantitative Ergebnisse zu liefern.

 

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